Question

18．利用基本不等式求最值，下列各式運用正確的有（　　）個
（1）y=x+$\frac{4}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{4}{x}}$=4
（2）y=sinx+$\frac{3}{sinx}$≥2$\sqrt{sinx•\frac{3}{sinx}}$=2$\sqrt{3}$（x∈（0，$\frac{π}{2}$）
（3）y=lgx+4log_x10＞2$\sqrt{lgx•4lo{g}_{x}10}$=4
（4）y=3^x+$\frac{4}{{3}^{x}}$≥2$\sqrt{{3}^{x}•\frac{4}{{3}^{x}}}$=4．

• A． 0個
• B． 1個
• C． 2個
• D． 3個

Answer 1

分析 直接根據基本不等式求最值時的前提條件“一正，二定，三相等”，對各命題作出判斷．

解答 解：根據基本不等式成立的條件，對各命題考察如下：
（1）y=x+$\frac{4}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{4}{x}}$=4，這個運算是錯誤的，
因為只有“正數”才能用基本不等式，即該式中“x＞0”這個條件缺失；
（2）y=sinx+$\frac{3}{sinx}$≥$\sqrt{sinx•\frac{3}{sinx}}$=2$\sqrt{3}$（x∈（0，$\frac{π}{2}$），這個運算是錯誤的，
因為取最小值2$\sqrt{3}$時，sinx=$\sqrt{3}$，不等成立，即“=”無法取得；
（3）y=lgx+4log_x10＞2$\sqrt{lgx•4lo{g}_{x}10}$=4，這個運算是錯誤的，
因為只有“正數”才能用基本不等式，即該式中應限制“x＞1”；
（4）y=3^x+$\frac{4}{{3}^{x}}$≥2$\sqrt{{3}^{x}•\frac{4}{{3}^{x}}}$=4，這個運算是正確的，
符合條件“一正，二定，三相等”．
所以，只有（4）是正確的，
故答案為：B．

點評 本題主要考查了運用基本不等式求最值，涉及應用的前提條件“一正，二定，三相等”，缺一不可，屬于中檔題．