Question

7．已知z是復數(shù)，z+2i和$\frac{z}{2-i}$均為實數(shù)（i為虛數(shù)單位）．
（Ⅰ）求復數(shù)z；
（Ⅱ）求$\frac{z}{1+i}$的模．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)z=a+bi，分別代入z+2i和$\frac{z}{2-i}$，化簡后由虛部為0求得b，a的值，則復數(shù)z可求；
（Ⅱ）把z代入$\frac{z}{1+i}$，利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，代入模的公式得答案．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)z=a+bi，∴z+2i=a+（b+2）i，
由a+（b+2）i為實數(shù)，可得b=-2，
又∵$\frac{a-2i}{2-i}=\frac{2a+2+（a-4）i}{5}$為實數(shù)，∴a=4，
則z=4-2i；
（Ⅱ）$\frac{z}{1+i}=\frac{4-2i}{1+i}=1-3i$，
∴$\frac{z}{1+i}$的模為$\sqrt{10}$．

點評 本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查了復數(shù)的基本概念，訓練了復數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題．