Question

12．已知函數(shù)f（x）=-x³-x+sinx，不等式f（m+sinθ）+f（cos2θ）＞0對(duì)任意θ∈（0，$\frac{π}{2}$）都成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍（-∞，-$\frac{25}{12}$）．

Answer 1

分析 根據(jù)條件判斷函數(shù)f（x）的奇偶性和單調(diào)性，將不等式轉(zhuǎn)化，利用參數(shù)分離法，利用換元法求出函數(shù)的最值即可．

解答 解：∵f（x）=-x³-x+sinx，
∴f（-x）=x³+x-sinx=-（-x³-x+sinx）=-f（x），則f（x）為奇函數(shù)，
則不等式f（m+sinθ）+f（cos2θ）＞0等價(jià)為f（m+sinθ）＞-f（cos2θ）=f（-2cos2θ），
函數(shù)f′（x）=-x²-1+cosx≤0，則函數(shù)f（x）為減函數(shù)，
則不等式等價(jià)為m+sinθ＜-2cos2θ對(duì)任意θ∈（0，$\frac{π}{2}$）都成立，
即m＜-sinθ-2cos2θ，
設(shè)y=g（θ）=-sinθ-2cos2θ=-sinθ-2[1-2sin²θ]=4sin²θ-sinθ-2，
設(shè)t=sinθ，∵θ∈（0，$\frac{π}{2}$），∴t∈（0，1），
則函數(shù)等價(jià)為y=4t²-t-2，對(duì)稱軸為t=-$\frac{-1}{2×4}$=$\frac{1}{8}$，
∴當(dāng)t=$\frac{1}{8}$時(shí)，函數(shù)取得最小值為y=4×（$\frac{1}{8}$）²-$\frac{1}{8}$-2=-$\frac{25}{12}$，
即m＜-$\frac{25}{12}$，
故答案為：（-∞，-$\frac{25}{12}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查不等式恒成立問題，利用定義判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．綜合考查函數(shù)的性質(zhì)．