Question

10．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的短軸長(zhǎng)為2，離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)M（2，0）的直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)₁為橢圓的左焦點(diǎn)．
（1）若B點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)是N，證明：直線AN恒過一定點(diǎn)；
（2）試求橢圓C上是否存在點(diǎn)P，使F₁APB為平行四邊形？若存在，求出F₁APB的面積，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意知2b=2，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，由此能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）（1）設(shè)過M（2，0）的直線l：y=k（x-2），與橢圓聯(lián)立，得（1+2k²）x-8k²x-2=0，由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、點(diǎn)的對(duì)稱、直線方程等知識(shí)結(jié)合已知條件能證明直線l過定點(diǎn)（1，0）．
（2）橢圓左焦點(diǎn)F₁（-1，0），設(shè)AB的中點(diǎn)N（x₀，y₀），假設(shè)存在點(diǎn)P（x₃，y₃）使F₁APB為平行四邊形，則N是F₁P的中點(diǎn)，由此利用橢圓性質(zhì)、弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)到直線距離公式能求出平行四邊形F₁APB的面積．

解答 解：（Ⅰ）∵橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的短軸長(zhǎng)為2，
∴由題意知2b=2，解得b=1，
∵離心率為e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴a²=2c²=2a²-2b²，解得a=$\sqrt{2}$，
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$．
證明：（Ⅱ）（1）設(shè)過M（2，0）的直線l：y=k（x-2），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\\{y=k（x-2）}\end{array}\right.$，得（1+2k²）x-8k²x-2=0，
∵直線與橢圓交于兩點(diǎn)，∴△＞0，即0＜k²＜$\frac{1}{2}$，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{8{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
∵B點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)是N，∴N（x₂，-y₂），
設(shè)直線AN：y-y₁=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$（x-x₁），
∵A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）滿足直線l：y=k（x-2），
∴y=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$（x-x₁）+y₁
=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$x-$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}{x}_{1}$+$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$y₁
=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}x-\frac{{x}_{2}{y}_{1}+{x}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$
=$\frac{k}{{x}_{1}-{x}_{2}}$[（x₁+x₂-4）x-2（x₁x₂-（x₁+x₂））]
=-$\frac{4k}{（{x}_{1}-{x}_{2}）（1+2{k}^{2}）}（x-1）$，
∴直線l過定點(diǎn)（1，0）．
解：（2）橢圓左焦點(diǎn)F₁（-1，0），設(shè)AB的中點(diǎn)N（x₀，y₀），
則${x}_{0}=\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，${y}_{0}=k（{x}_{0}-2）=\frac{-2k}{1+2{k}^{2}}$，
假設(shè)存在點(diǎn)P（x₃，y₃）使F₁APB為平行四邊形，則N是F₁P的中點(diǎn)，
∴x₃-1=2x₀，y₃=2y₀，即${x}_{3}=\frac{1+10{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，${y}_{3}=\frac{-4k}{1+2{k}^{2}}$，
∵P（x₃，y₃）在橢圓C上，∴$\frac{{{x}_{3}}^{2}}{2}+{{y}_{3}}^{2}$=1．
整理，得92k⁴+44k²-1=0，解得${k}^{2}=\frac{1}{46}$或k²=-$\frac{1}{2}$（舍），
∵0≤${k}^{2}＜\frac{1}{2}$，∴${k}^{2}=\frac{1}{46}$，
此時(shí)，|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}•\sqrt{（\frac{8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}）^{2}-4•\frac{8{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{1+{k}^{2}}•\sqrt{8-16{k}^{2}}}{1+2{k}^{2}}$，
左焦點(diǎn)F₁（-1，0）到直線l：y=k（x-2）的距離d=$\frac{|-3k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{3}{\sqrt{47}}$，
∴平行四邊形F₁APB的面積S=2${S}_{△AB{F}_{1}}$=2×$\frac{1}{2}×|AB|×d$=$\frac{\sqrt{22}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，考查直線過定點(diǎn)的證明，考查滿足條件的點(diǎn)是否存在的判斷與求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意根的判別式、韋達(dá)定理、點(diǎn)的對(duì)稱、直線方程等知識(shí)點(diǎn)的合理運(yùn)用．