Question

16．已知函數(shù)f（x）=x|x-4|（x∈R），若存在正實(shí)數(shù)k，使得方程f（x）=k在區(qū)間（2，+∞）上有兩個(gè)根a，b，其中a＜b，則ab-2（a+b）的取值范圍是（　�。�

• A． （2，2+2$\sqrt{2}$）
• B． （-4，0）
• C． （-2，2）
• D． （-4，2）

Answer 1

分析 畫出函數(shù)f（x）=x|x-4|=$\left\{\begin{array}{l}-{x}^{2}+4x，x＜4\\{x}^{2}-4x，x≥4\end{array}\right.$的圖象，數(shù)形結(jié)合分析出a+b的取值范圍，再將ab-2（a+b）化為$\frac{{（a+b）}^{2}}{2}$-4（a+b），結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得答案．

解答 解：函數(shù)f（x）=x|x-4|=$\left\{\begin{array}{l}-{x}^{2}+4x，x＜4\\{x}^{2}-4x，x≥4\end{array}\right.$的圖象如下所示：

若存在正實(shí)數(shù)k，使得方程f（x）=k在區(qū)間（2，+∞）上有兩個(gè)根a，b，其中a＜b，
則a∈（2，4），b∈（4，2+2$\sqrt{2}$），a+b∈（4+2$\sqrt{2}$，8），
且-a²+4a=b²-4b，即4（a+b）=a²+b²，
則ab-2（a+b）=$\frac{（a+b）^{2}-（{a}^{2}+^{2}）}{2}$-2（a+b）=$\frac{{（a+b）}^{2}}{2}$-4（a+b）∈（-4，0），
故選：B

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是分段函數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合思想，難度中檔．