Question

【題目】已知函數(shù)f(x)＝－x2＋2ex＋m－1，g(x)＝x＋ (x＞0).

(1)若g(x)＝m有實(shí)根，求m的取值范圍；

(2)確定m的取值范圍，使得g(x)－f(x)＝0有兩個(gè)相異實(shí)根.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

解 (1)∵x＞0，∴g(x)＝x＋≥2＝2e，

等號(hào)成立的條件是x＝e.

故g(x)的值域是[2e，＋∞)，因而只需m≥2e，

則g(x)＝m就有實(shí)根.故m∈[2e，＋∞).

(2)若g(x)－f(x)＝0有兩個(gè)相異的實(shí)根，即g(x)＝f(x)中函數(shù)g(x)與f(x)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

作出g(x)＝x＋ (x＞0)的大致圖象.

∵f(x)＝－x2＋2ex＋m－1＝－(x－e)2＋m－1＋e2.

其對(duì)稱軸為x＝e，開口向下，最大值為m－1＋e2.

故當(dāng)m－1＋e2＞2e，即m＞－e2＋2e＋1時(shí)，

g(x)與f(x)有兩個(gè)交點(diǎn)，即g(x)－f(x)＝0有兩個(gè)相異實(shí)根.

∴m的取值范圍是(－e2＋2e＋1，＋∞).