Question

9．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C₁的點(diǎn)均在C₂：（x-1）²+y²=$\frac{1}{4}$外，且對(duì)C₁上任意一點(diǎn)M，M到直線x=-$\frac{1}{2}$的距離等于該點(diǎn)與圓C₂上點(diǎn)的距離的最小值．
（1）求曲線C₁的方程；
（2）已知直線l過(guò)定點(diǎn)P（-2，1），斜率為k，當(dāng) k為何值時(shí)，直線l與曲線C₁只有一個(gè)公共點(diǎn)點(diǎn)；有兩個(gè)公共點(diǎn)？

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)M的坐標(biāo)為（x，y），根據(jù)M到直線x=-$\frac{1}{2}$的距離等于該點(diǎn)與圓C₂上點(diǎn)的距離的最小值，可得$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}-\frac{1}{2}$=|x$+\frac{1}{2}$|，結(jié)合已知可知，在直線x=-$\frac{1}{2}$的右側(cè)，從而可得曲線C₁的方程；
（II）由題意可設(shè)直線l的方程為y-1=k（x+2），聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y-1=k（x+2）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$可得，k²x²+（4k²+2k-4）x+（2k+1）²=0，轉(zhuǎn)化為方程有一個(gè)根或兩個(gè)根，求解k的范圍即可

解答 解：（I）由已知可得，$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}-\frac{1}{2}$=|x$+\frac{1}{2}$|，
曲線C₁的點(diǎn)均在C₂：（x-1）²+y²=$\frac{1}{4}$外，
M在直線x=-$\frac{1}{2}$的右側(cè)，即x＞-$\frac{1}{2}$，
化簡(jiǎn)可得曲線C₁的方程為y²=4x；
（II）由題意可設(shè)直線l的方程為y-1=k（x+2），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y-1=k（x+2）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$可得，k²x²+（4k²+2k-4）x+（2k+1）²=0；（1）
當(dāng)k=0或$\left\{\begin{array}{l}{k≠0}\\{△=（4{k}^{2}+2k-4）^{2}-4{k}^{2}（2k+1）^{2}=0}\end{array}\right.$，
解可得，k=0或k=-2或k=-1或k=$\frac{1}{2}$；
當(dāng)k=0或k=-2或k=-1或k=$\frac{1}{2}$時(shí)，直線與曲線C₁只有一個(gè)公共點(diǎn)；
當(dāng)$\left\{\begin{array}{l}{k≠0}\\{△=（4{k}^{2}+2k-4）^{2}-4{k}^{2}（2k+1）^{2}＞0}\end{array}\right.$，
整理可得，$\left\{\begin{array}{l}{k≠0}\\{2{k}^{2}+k-1＜0}\end{array}\right.$，
解可得，-1$＜k＜\frac{1}{2}$且k≠0
當(dāng)1$＜k＜\frac{1}{2}$且k≠0時(shí)，直線l與曲線C₁個(gè)有兩個(gè)公共點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查軌跡方程的求解，考查方程思想的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是直線與拋物線聯(lián)立，屬于中檔題．