Question

18．設(shè)f（x）=$\frac{1}{3}$x³+3x²+ax，若g（x）=$\frac{1}{{4}^{x}}$，對(duì)任意x₁∈[$\frac{1}{2}$，1]，存在x₂∈[$\frac{1}{2}$，2]，使得f′（x₁）≤g（x₂）成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，-$\frac{13}{2}$]．

Answer 1

分析 先將問(wèn)題等價(jià)為：f'（x）_max≤g（x）_max，再分別對(duì)二次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上求最值．

解答 解：根據(jù)題意，要使得f'（x₁）≤g（x₂）成立，
只需滿足：f'（x）_max≤g（x）_max，
而f'（x）=x²+6x+a=（x+3）²+a-9，x∈[$\frac{1}{2}$，1]，
所以，f'（x）_max=f（1）=a+7，
g（x）=$\frac{1}{4^x}$，x∈[$\frac{1}{2}$，2]，函數(shù)單調(diào)遞減，
所以，g（x）_max=g（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$，
因此，a+7≤$\frac{1}{2}$，解得a≤-$\frac{13}{2}$，
所以，實(shí)數(shù)a的取值范圍為：（-∞，-$\frac{13}{2}$]，
故答案為：（-∞，-$\frac{13}{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了不等式有解和恒成立的綜合問(wèn)題，涉及二次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和值域，以及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，屬于中檔題．