Question

14．如圖，直線PB與圓O交于A，B兩點，OD⊥AB于點D，PC是圓O的切線，切點為C．
（Ⅰ）求證：PC²+AD²=PD²；．
（Ⅱ）若BC是圓O的直徑，求證：AC•BC=2BD•PC．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由垂徑定理和切割線定理得AD=BD，PC²=PA•PB=（PD-AD）（PD+AD），由此能證明PC²+AD²=PD²．
（Ⅱ）推導(dǎo)出∠BAC=∠PCB=90°，∠B=∠B，從而△BAC∽△BCP，由此能證明AC•BC=2BD•PC．

解答 證明：（Ⅰ）∵直線PB與圓O交于A，B兩點，OD⊥AB于點D，PC是圓O的切線，切點為C．
∴AD=BD，PC²=PA•PB=（PD-AD）（PD+AD）=PD²-AD²，
∴PC²+AD²=PD²．
（Ⅱ）∵BC是圓O的直徑，PC是圓O的切線，切點為C，
∴∠BAC=∠PCB=90°，∠B=∠B，
∴△BAC∽△BCP，
∴$\frac{AC}{PC}=\frac{AB}{BC}=\frac{2BD}{BC}$，
∴AC•BC=2BD•PC．

點評 本題考查兩線段的平方和等于第三條線段的平方的證明，考查兩組線段乘積相等的證明，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意圓的性質(zhì)的合理運用．