Question

3．已知圓C的方程為x²+y²=16，直線l：x+y-8=0，點(diǎn)P是直線l上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P做圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，當(dāng)四邊形PAOB的面積最小時(shí)，直線AB的方程為（　�。�

• A． x+y=4
• B． 3x+4y=4
• C． 2x+3y=4
• D． x+y=1

Answer 1

分析 由題意可得當(dāng)點(diǎn)A與圓心的距離最小時(shí)，切線長(zhǎng)PA、PB最小，此時(shí)四邊形OPAQ的面積最小，求出P的坐標(biāo)，以O(shè)P為直徑的圓的方程，兩圓方程相減可得直線AB的方程．

解答 解：∵圓x²+y²=16的圓心為C（0，0），半徑r=4，
當(dāng)點(diǎn)P與圓心的距離最小時(shí)，切線長(zhǎng)PA、PB最小，此時(shí)四邊形OPAQ的面積最小，
∴PO⊥直線l：x+y-8=0，
∴PO的方程為x-y=0，
兩方程聯(lián)立可得x=y=4，∴P（4，4），
∴以O(shè)P為直徑的圓的方程為（x-2）²+（y-2）²=8
兩圓方程相減可得x+y=4
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的切線方程，得出當(dāng)點(diǎn)P與圓心的距離最小時(shí)OPAQ的面積最小是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬中檔題．