Question

2．已知二次函數(shù)f（x）=ax²-bx+1，A={x|1≤x≤3}，B={x|1≤x≤4}．
（1）若a∈A，b∈B，且a，b∈Z，求函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)的概率；
（2）若a∈A，b∈B，求關(guān)于x的方程f（x）=0一根在區(qū)間$（0\;，\;\frac{1}{2}）$內(nèi)，另一根在$[0\;，\;\frac{1}{2}]$外的概率．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，利用列舉法求出基本事件的個(gè)數(shù)進(jìn)行求解即可．
（2）利用一元二次函數(shù)根的分布求出對應(yīng)的取值范圍，結(jié)合概率公式進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）記B為“函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)的概率”，因?yàn)閍=1，2，3，b=1，2，3，4，則基本事件為（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4）共12個(gè)------（2分）
要使得函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)則有，
所以事件B包含的基本事件為（1，1），（1，2），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4）共10個(gè)‘
所以事件B的概率為 P（B）=10/12=5/6；-----（4分）
（2）設(shè)事件A為“關(guān)于x的方程f（x）=0一根在區(qū)間$（0\;，\;\frac{1}{2}）$內(nèi)，另一根在$[0\;，\;\frac{1}{2}]$外”．
試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)棣?{（a，b）|1≤a≤3，1≤b≤4}．------（6分），
∵f（0）=1＞0，
∴若滿足事件A，須 $f（\frac{1}{2}）＜0$，
即$\frac{1}{4}a-\frac{1}{2}b+1＜0$，即a-2b+4＜0，
∴構(gòu)成事件A的區(qū)域?yàn)?\left\{{\begin{array}{l}{1≤a≤3}\\{1≤b≤4}\\{a-2b+4＜0}\end{array}}\right.$
表示的區(qū)域如圖所示的陰影部分------（8分）
其中A（1，1），B（3，1），C（3，4），D（1，4），E（3，3.5），F(xiàn)（1，2.5）
陰影部分的面積為${S_A}=\frac{{\frac{1}{2}+\frac{3}{2}}}{2}•2=2$
區(qū)域Ω的面積為S_Ω=2×3=6------（10分）
∴事件A的概率為$P（A）=\frac{S_A}{S_Ω}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$------（12分）
∴f（x）=0一根在區(qū)間$（0\;，\;\frac{1}{2}）$內(nèi)，另一根在$[0\;，\;\frac{1}{2}]$外的概率為$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評 本題主要考查概率的計(jì)算，利用列舉法求古典概型的概率，注意要利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解．