Question

9．如圖，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是雙曲線的左、右焦點，過F₁的直線l與雙曲線的左右兩支分別交于點B、A兩點，若△ABF₂為等邊三角形，則該雙曲線的離心率為$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 由雙曲線的定義，可得F₁A-F₂A=F₁A-AB=F₁B=2a，BF₂-BF₁=2a，BF₂=4a，F(xiàn)₁F₂=2c，再在△F₁BF₂中應用余弦定理得，a，c的關系，由離心率公式，計算即可得到所求．

解答 解：因為△ABF₂為等邊三角形，不妨設AB=BF₂=AF₂=m，
A為雙曲線上一點，F(xiàn)₁A-F₂A=F₁A-AB=F₁B=2a，
B為雙曲線上一點，則BF₂-BF₁=2a，BF₂=4a，F(xiàn)₁F₂=2c，
由$∠AB{F_2}={60^0}$，則$∠{F_1}B{F_2}={120^0}$，
在△F₁BF₂中應用余弦定理得：4c²=4a²+16a²-2•2a•4a•cos120°，
得c²=7a²，則${e^2}=7⇒e=\sqrt{7}$．
故答案為：$\sqrt{7}$．

點評 本題考查雙曲線的定義、方程和性質，考查余弦定理的運用，考查運算能力，屬于中檔題．