Question

16．已知函數(shù)f（x）=e^x-f（1）x²+2f′（0）x-e（e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)）．
（1）求函數(shù)f（x）在（1，f（1））處的切線方程；
（2）令g（x）=$\frac{3}{2}$x²-x+1，解關(guān)于x的不等式f（x）+e≥g（x）．

Answer 1

分析 （1）求出導(dǎo)數(shù)，令x=0，可得f′（0）=-1，求得f（x），令x=1，可得f（1）=-1，再令x=1，可得f′（1）=e，再由點斜式方程，可得切線的方程；
（2）由題意可得原不等式即為e^x≥$\frac{1}{2}$x²+x+1，可令h（x）=e^x-（$\frac{1}{2}$x²+x+1），求出導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，即可得到所求解集．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=e^x-f（1）x²+2f′（0）x-e，
f′（x）=e^x-2f（1）x+2f′（0），
令x=0，可得f′（0）=e⁰+2f′（0），解得f′（0）=-1，
即有f（x）=e^x-f（1）x²-2x-e，
令x=1，可得f（1）=e-f（1）-2-e，解得f（1）=-1，
再令x=1，可得f′（1）=e-2f（1）-2=e+2-2=e，
則有函數(shù)f（x）在（1，f（1））處的切線方程為y-（-1）=e（x-1），
即為y=ex-e-1；
（2）不等式f（x）+e≥g（x），
即為e^x+x²-2x≥$\frac{3}{2}$x²-x+1，
即有e^x≥$\frac{1}{2}$x²+x+1，
可令h（x）=e^x-（$\frac{1}{2}$x²+x+1），h′（x）=e^x-x-1，
再令m（x）=e^x-x-1，m′（x）=e^x-1，
可得x＞0時，m′（x）＞0，m（x）遞增；x＜0時，m′（x）＜0，m（x）遞減．
即有m（x）在x=0處取得最小值0，即m（x）≥0，
即有h′（x）≥0，h（x）在R上遞增，
由e^x≥$\frac{1}{2}$x²+x+1，即為h（x）=e^x-（$\frac{1}{2}$x²+x+1）≥0=h（0），
解得x≥0，
即有解集為[0，+∞）．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查構(gòu)造函數(shù)法，運用單調(diào)性解不等式，屬于中檔題．