Question

4．已知f（x）是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，且對(duì)任意x，y∈R滿足下列關(guān)系式：f（x•y）=xf（y）+yf（x），且f（2）=2．
（1）求f（0），f（1）的值；
（2）證明：f（x）為奇函數(shù)；
（3）證明：$\frac{f（{2}^{n}）}{{2}^{n}}$-$\frac{f（{2}^{n-1}）}{{2}^{n-1}}$=1（n∈N^*）．

Answer 1

分析 （1）由已知關(guān)系式，可令x=y=0，x=y=1，代入計(jì)算即可得到所求值；
（2）令x=y=-1，求得f（-1）=0，再令y=-1，代入即可得到f（-x）=-f（x），進(jìn)而得證；
（3）作差，通分，再由f（2ⁿ）=2f（2^n-1）+2^n-1f（2），結(jié)合f（2）=2，即可得證．

解答 解：（1）因?yàn)閷?duì)定義域內(nèi)任意x，y，f（x）滿足f（xy）=yf（x）+xf（y），
令x=y=0，可得f（0）=0；
令x=y=1，即有f（1）=2f（1），即為f（1）=0；
（2）證明：令x=y=-1，得f（-1）=0，
令y=-1，有f（-x）=-f（x）+xf（-1），
代入f（-1）=0得f（-x）=-f（x），
故f（x）是（-∞，+∞）上的奇函數(shù)．
（3）證明：設(shè)a_n=$\frac{f（{2}^{n}）}{{2}^{n}}$，
則a_n-a_n-1=$\frac{f（{2}^{n}）}{{2}^{n}}$-$\frac{f（{2}^{n-1}）}{{2}^{n-1}}$=$\frac{f（{2}^{n}）-2f（{2}^{n-1}）}{{2}^{n}}$
=$\frac{2f（{2}^{n-1}）+{2}^{n-1}f（2）-2f（{2}^{n-1}）}{{2}^{n}}$=$\frac{f（2）}{2}$=1，
則$\frac{f（{2}^{n}）}{{2}^{n}}$-$\frac{f（{2}^{n-1}）}{{2}^{n-1}}$=1（n∈N^*）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，注意充分運(yùn)用已知關(guān)系式，結(jié)合抽象函數(shù)的關(guān)系進(jìn)行推導(dǎo)是解決本題的關(guān)鍵．