Question

7．如圖，已知正三角形ABC內(nèi)接于半徑為2的圓O，E為線段BC上一動點，延長AE交圓O于點F，則$\overrightarrow{FA}$•$\overrightarrow{FB}$的取值范圍是[-6，0]．

Answer 1

分析 利用兩個向量的加減法的法則，以及其幾何意義，可得則$\overrightarrow{FA}$•$\overrightarrow{FB}$=（$\overrightarrow{OF}$-$\overrightarrow{OA}$）•（$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OF}$），再化簡為4cos∠MOF-2；求得∠MOF 的范圍，可得$\overrightarrow{FA}$•$\overrightarrow{FB}$的取值范圍．

解答 解：取AB的中點M，則OM=OA•sin30°=1，
則$\overrightarrow{FA}$•$\overrightarrow{FB}$=（$\overrightarrow{OF}$-$\overrightarrow{OA}$）•（$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OF}$）=$\overrightarrow{OF}•\overrightarrow{OB}$-${\overrightarrow{OF}}^{2}$-$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OF}$
=$\overrightarrow{OF}$•（$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$）-4-2•2cos∠AOB=$\overrightarrow{OF}$•2$\overrightarrow{OM}$-4-2•2cos120°=2$\overrightarrow{OF}•\overrightarrow{OM}$-2
=2•2•1•cos∠MOF-2=4cos∠MOF-2．
當(dāng)點E與點C重合時，點F和點C重合時，∠MOF=π；
當(dāng)點E與點B重合時，點F和點B重合時，∠MOF=$\frac{π}{3}$；
故4cos∠MOF∈[-6，0]，即$\overrightarrow{FA}$•$\overrightarrow{FB}$的取值范圍是[-6，0]，
故答案為：[-6，0]．

點評 本題主要考查兩個向量的加減法的法則，以及其幾何意義，兩個向量的數(shù)量積的定義，屬于中檔題．