Question

3．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，左焦點(diǎn)為F，以O(shè)F為直徑的圓交雙曲線于點(diǎn)P，且4$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OF}$=$\overrightarrow{OF}$²，則該雙曲線的離心率是（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}$
• C． $\sqrt{7}$-$\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{7}$+$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 通過以O(shè)F為直徑的圓交雙曲線于點(diǎn)P得向量的垂直，向量的數(shù)量積得到∠FOP=60°，設(shè)雙曲線另一個(gè)焦點(diǎn)為F'，則在△POF'中，利用余弦定理以及雙曲線的定義，即可求出雙曲線的離心率．

解答 解：∵以O(shè)F為直徑的圓交雙曲線于點(diǎn)P，
∴$\overrightarrow{OP}$⊥$\overrightarrow{PF}$，
∴4$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OF}$=4|$\overrightarrow{OP}$||$\overrightarrow{OF}$|•$\frac{|\overrightarrow{OP}|}{|\overrightarrow{OF}|}$=4|$\overrightarrow{OP}$|²=$\overrightarrow{OF}$²=c²，
∴|$\overrightarrow{OP}$|=$\frac{1}{2}$c，∠FOP=60°，
設(shè)雙曲線另一個(gè)焦點(diǎn)為F'，則在△POF'中，
由余弦定理可得|PF′|=$\frac{\sqrt{7}}{2}$c，
又|PF|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$c，
由雙曲線定義得$\frac{\sqrt{7}}{2}$c-$\frac{\sqrt{3}}{2}$c=2a，
所以離心率e=$\sqrt{7}$+$\sqrt{3}$，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，向量的數(shù)量積的應(yīng)用，基本知識(shí)的考查．