Question

8．數(shù)列{a_n}中，a_n+1=a_n+a（n∈N^*，a為常數(shù)），若平面上三個不重合的點A，B，C共線，且該直線不過點O，且$\overrightarrow{OC}$=$\frac{{a}_{1}}{2}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{{a}_{2011}}{2}$$\overrightarrow{OB}$，則S₂₀₁₁等于（　　）

• A． 1005
• B． $\frac{1}{2}$
• C． 2010
• D． 2011

Answer 1

分析 平面上三個不重合的點A，B，C共線，且該直線不過點O，且$\overrightarrow{OC}$=$\frac{{a}_{1}}{2}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{{a}_{2011}}{2}$$\overrightarrow{OB}$，l利用向量共線定理可得：$\frac{{a}_{1}}{2}$+$\frac{{a}_{2011}}{2}$=1．由于數(shù)列{a_n}中，a_n+1=a_n+a（n∈N^*，a為常數(shù)），可得此數(shù)列是等差數(shù)列，即可得出．

解答 解：∵平面上三個不重合的點A，B，C共線，且該直線不過點O，且$\overrightarrow{OC}$=$\frac{{a}_{1}}{2}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{{a}_{2011}}{2}$$\overrightarrow{OB}$，
∴$\frac{{a}_{1}}{2}$+$\frac{{a}_{2011}}{2}$=1，
∵數(shù)列{a_n}中，a_n+1=a_n+a（n∈N^*，a為常數(shù)），
∴此數(shù)列是等差數(shù)列，
則S₂₀₁₁=$\frac{2011（{a}_{1}+{a}_{2011}）}{2}$=2011，
故選：D．

點評 本題考查了向量共線定理、等差數(shù)列的通項公式性質(zhì)及其前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．