Question

20．如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD為梯形，AB∥DC，∠ABC=∠CAD=90°，且PA=AB=BC=1，E是棱PB上的點，且PE=2EB．
（1）求證：PD∥平面ACE；
（2）求三棱錐P-AEC的體積．

Answer 1

分析 （1）以A為原點，取CD中點F，以AF為x軸，AB為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明PD∥平面EAC．
（2）轉(zhuǎn)換底面求三棱錐P-AEC的體積．

解答 （1）證明：以A為原點，取CD中點F，以AF為x軸，AB為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則由題意P（0，0，1），D（1，-1，0），A（0，0，0），
B（0，1，0），E（0，$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{3}$），C（1，1，0），
$\overrightarrow{AE}$=（0，$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{3}$），$\overrightarrow{AC}$=（1，1，0），$\overrightarrow{PD}$=（1，-1，-1），
設(shè)平面EAC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}z=0}\\{x+y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，2），
∵$\overrightarrow{PD}$•$\overrightarrow{n}$=1+1-2=0，PD?平面EAC，
∴PD∥平面EAC．
（2）解：由題意，AC=$\sqrt{2}$，B到平面PAC的距離為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴E到平面PAC的距離為$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
∴V_P-AEC=V_E-PAC=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{3}$=$\frac{1}{9}$

點評 本題考查線面平行的證明，考查三棱錐P-AEC的體積的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運用．