Question

16．如圖所示：已知圓N：（x+2）²+y²=8和拋物線C：y²=2x，圓N的切線l與拋物線C交于不同的兩點A，B．
（1）當(dāng)直線l的斜率為1時，求線段AB的長；
（2）設(shè)點O為坐標(biāo)原點，問是否存在直線l，使得$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）圓N的圓心N為（-2，0），半徑r=2$\sqrt{2}$，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），設(shè)l的方程，利用直線l是圓N的切線，求得m的值，從而可得直線l的方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達定理，即可計算弦長|AB|；
（2）假設(shè)存在符合題意的直線l，依題意可設(shè)直線l的方程為x=ty+n（n＞0），利用直線與圓相切，$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，結(jié)合韋達定理，即可得出結(jié)論．

解答 解：因為圓N：（x+2）²+y²=8，所以圓心N為（-2，0），半徑r=2$\sqrt{2}$，…（1分）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
（1）當(dāng)直線l的斜率為1時，設(shè)l的方程為y=x+m即x-y+m=0
因為直線l是圓N的切線，所以$\frac{|-2+m|}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$，解得m=-2或m=6（舍），此時直線l的方程為y=x-2，…（3分）
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x-2}\\{{y}^{2}=2x}\end{array}\right.$消去x得y²-2y-4=0，
所以△＞0，y₁+y₂=2，y₁y₂=-4，…（4分）
所以弦長|AB|=$\sqrt{1+1}•\sqrt{4+16}$=2$\sqrt{10}$…（5分）
（2）假設(shè)存在符合題意的直線l，依題意可設(shè)直線l的方程為x=ty+n（n＞0）
∵直線l與圓N相切，∴$\frac{|-2-n|}{\sqrt{1+{t}^{2}}}$=2$\sqrt{2}$，
∴（n+2）²=8（1+t²）①…（6分）
∵$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，
∴x₁x₂+y₁y₂=0而x₁=ty₁+n，x₂=ty₂+n
∴（1+t²）y₁y₂+tn（y₁+y₂）+n²=0②…（8分）
由$\left\{\begin{array}{l}{x=ty+n}\\{{y}^{2}=2x}\end{array}\right.$，∴y²-2ty-2n=0，
∴y₁+y₂=2t，y₁y₂=-2n③…（9分）
把③代入②得：-2n（1+t²）+tn•2t+n²=0
又n＞0，∴n=2（10分）
把n=2代入①得：t=±1；此時l的方程為：x=±y+2．
故存在符合題意的直線l的方程為x±y-2=0．…（12分）

點評 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查弦長的計算，考查韋達定理的運用，解題的關(guān)鍵是聯(lián)立方程，正確運用韋達定理．