Question

12．已知橢圓C₁與雙曲線C₂有公共焦點(diǎn)（±c，0）（c＞0），C₁與C₂的離心率之差不超過(guò)1，且C₂有一條漸近線斜率不小于$\frac{4}{3}$，C₁，C₂與x軸正半軸分別交于A，B，且兩曲線在第一象限交點(diǎn)為D，設(shè)△ABD的面積為S，當(dāng)S取最大值時(shí)，此時(shí)曲線C₁，C₂的離心率分別是$\frac{2}{3}$，$\frac{5}{3}$．

Answer 1

分析 設(shè)橢圓C₁與雙曲線C₂的離心率分別為e₁，e₂，設(shè)出橢圓和雙曲線的方程，求得漸近線方程，由條件求得△ABD的面積，根據(jù)離心率公式和C₁與C₂的離心率之差不超過(guò)1，且C₂有一條漸近線斜率不小于$\frac{4}{3}$，化簡(jiǎn)整理，即可得到所求離心率．

解答 解：設(shè)橢圓C₁與雙曲線C₂的離心率分別為e₁，e₂，
橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{n}^{2}}$=1（m＞0，n＞0），
漸近線方程為y=±$\frac{n}{m}$x，（$\frac{n}{m}$≥$\frac{4}{3}$），
設(shè)A（a，0），B（m，0），D（x₀，y₀），
即有S=$\frac{1}{2}$（a-m）y₀，
e₁=$\frac{c}{a}$，e₂=$\frac{c}{m}$，e₂-e₁≤1，
聯(lián)立橢圓方程和雙曲線方程，
解得交點(diǎn)D為（$\frac{ma}{c}$，$\frac{nb}{c}$），
即有S=$\frac{1}{2}$（a-m）y₀=$\frac{1}{2}$（a-m）•$\frac{nb}{c}$
由于a²-b²=c²，m²+n²=c²，
由S²=$\frac{1}{4}$（a-m）²•$\frac{（{a}^{2}-{c}^{2}）（{c}^{2}-{m}^{2}）}{{c}^{2}}$
由于$\frac{1}{m}$-$\frac{1}{a}$≤$\frac{1}{c}$，
由$\frac{n}{m}$≥$\frac{4}{3}$，即n≥$\frac{4}{3}$m，
由m²+n²=c²≥m²+$\frac{16}{9}$m²，即c≥$\frac{5}{3}$m，
即有e₂≥$\frac{5}{3}$，e₁≥e₂-1≥$\frac{2}{3}$，
即有c≥$\frac{2}{3}$a，
當(dāng)a=$\frac{3}{2}$c，m=$\frac{3}{5}$c時(shí)，S²取得最大．
則有e₁=$\frac{2}{3}$，e₂=$\frac{5}{3}$．
故答案為：$\frac{2}{3}$，$\frac{5}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓和雙曲線的方程和性質(zhì)，主要考查離心率的求法和漸近線方程的運(yùn)用，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．