Question

17．若函數(shù)f（x）=2ax²-x³（a＞1）在區(qū)間（0，1]上是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是[$\frac{3}{4}，+∞$）．

Answer 1

分析 求出原函數(shù)的導函數(shù)，由題意可得f′（x）=-3x²+4ax≥0在（0，1]上恒成立，分離變量后利用單調性求出函數(shù)最值得答案．

解答 解：由f（x）=2ax²-x³（a＞1），得f′（x）=-3x²+4ax，
∵函數(shù)f（x）=2ax²-x³（a＞1）在區(qū)間（0，1]上是增函數(shù)，
∴f′（x）=-3x²+4ax≥0在（0，1]上恒成立，
即$a≥\frac{3}{4}x$在（0，1]上恒成立，
∵y=$\frac{3}{4}x$在（0，1]上為增函數(shù)，∴當x=1時有最大值$\frac{3}{4}$．
∴$a≥\frac{3}{4}$．
故答案為：[$\frac{3}{4}，+∞$）．

點評 本題考查二次函數(shù)的性質，訓練了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，訓練了利用分離參數(shù)法求參數(shù)的取值范圍，是中檔題．