Question

10．已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）=$\frac{1-{3}^{x}}{a+{3}^{x+1}}$．
（1）若a=1，求證函數(shù)f（x）不是奇函數(shù)；
（2）若此函數(shù)是奇函數(shù)．
①判斷并證明函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
②對(duì)任意的正數(shù)x，不等式f[m（log₃x）²+1]+f[-m（log₃x）-2]＞0取值范圍．

Answer 1

分析 （1）若a=1，則函數(shù)f（x）=$\frac{1-{3}^{x}}{1+{3}^{x+1}}$，f（-x）≠-f（x），進(jìn)而得到結(jié)論；
（2）若此函數(shù)是奇函數(shù)，則a=3，
①結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，和單調(diào)性的性質(zhì)，可判斷函數(shù)f（x）為減函數(shù)，利用定義法，可證得結(jié)論；
②結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，可將不等式化為m（log₃x）²+1＜m（log₃x）+2恒成立，令t=log₃x，則mt²+1＜mt+2恒成立，則mt²-mt-1＜0恒成立，再由二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，得到m的范圍．

解答 證明：（1）若a=1，則函數(shù)f（x）=$\frac{1-{3}^{x}}{1+{3}^{x+1}}$．
此時(shí)f（-x）=$\frac{1-{3}^{-x}}{1+{3}^{-x+1}}$=$\frac{{3}^{x}-3}{3+{3}^{x}}$，
-f（x）=-$\frac{1-{3}^{x}}{1+{3}^{x+1}}$，
f（-x）≠-f（x），
故函數(shù)f（x）不是奇函數(shù)；
（2）①若此函數(shù)是奇函數(shù)，則f（-x）=-f（x），
故$\frac{1-{3}^{-x}}{a+{3}^{-x+1}}$=$\frac{{3}^{x}-1}{a•{3}^{x}+{3}^{\;}}$=-$\frac{1-{3}^{x}}{a+{3}^{x+1}}$=$\frac{{3}^{x}-1}{a+{3}^{x+1}}$，
故a•3^x+3=a+3^x+1，
解得：a=3，
此時(shí)f（x）=$\frac{1-{3}^{x}}{3+{3}^{x+1}}$=$-\frac{1}{3}$+$\frac{2}{3+{3}^{x+1}}$，
此時(shí)函數(shù)f（x）為減函數(shù)，
理由如下：
∵$3+{3}^{{x}_{1}+1}＞0$，$3+{3}^{{x}_{2}+1}＞0$，${3}^{{x}_{2}+1}-{3}^{{x}_{1}+1}＞0$，
∴f（x₁）-f（x₂）=（$-\frac{1}{3}$+$\frac{2}{3+{3}^{{x}_{1}+1}}$）-（$-\frac{1}{3}$+$\frac{2}{3+{3}^{{x}_{2}+1}}$）=$\frac{2}{3+{3}^{{x}_{1}+1}}$-$\frac{2}{3+{3}^{{x}_{2}+1}}$=$\frac{2（{3}^{{x}_{2}+1}-{3}^{{x}_{1}+1}）}{（3+{3}^{{x}_{1}+1}）（3+{3}^{{x}_{2}+1}）}$＞0，
故函數(shù)f（x）為減函數(shù)，
②若f[m（log₃x）²+1]+f[-m（log₃x）-2]＞0恒成立，
則f[m（log₃x）²+1]＞-f[-m（log₃x）-2]恒成立，
則f[m（log₃x）²+1]＞f[m（log₃x）+2]恒成立，
則m（log₃x）²+1＜m（log₃x）+2恒成立，
令t=log₃x，則mt²+1＜mt+2恒成立，
則mt²-mt-1＜0恒成立，
當(dāng)m=0時(shí)，滿足條件，
當(dāng)m≠0時(shí)，$\left\{\begin{array}{l}m＜0\\△={m}^{2}+4m＜0\end{array}\right.$，解得：-4＜m＜0，
綜上所述：m∈（-4，0]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的奇偶性，恒成立問(wèn)題，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，難度中檔．