Question

17．若不等式a^|x|＞x²-$\frac{1}{2}$對(duì)任意x∈[-1，1]都成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （$\frac{1}{2}$，1）∪（1，+∞）
• B． （0，$\frac{1}{2}$）∪（1，+∞）
• C． （$\frac{1}{2}$，1）∪（1，2）
• D． （0，$\frac{1}{2}$）∪（1，2）

Answer 1

分析 設(shè)f（x）=a^|x|，g（x）=x²-$\frac{1}{2}$，根據(jù)不等式的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)系，利用分類討論以及數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可．

解答 解：設(shè)f（x）=a^|x|，g（x）=x²-$\frac{1}{2}$，
當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，g（x）∈[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]，
∵f（x）和g（x）都是偶函數(shù)，
∴只要保證當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，不等式a^|x|＞x²-$\frac{1}{2}$恒成立即可．
當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=a^x，
若a＞1時(shí)，f（x）=a^x≥1，此時(shí)不等式a^|x|＞x²-$\frac{1}{2}$恒成立，滿足條件．
若0＜a＜1時(shí)，f（x）=a^x為減函數(shù)，而g（x）為增函數(shù)，
此時(shí)要使不等式a^|x|＞x²-$\frac{1}{2}$恒成立，則只需要f（1）＞g（1）即可，
即a＞1-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$，
此時(shí)$\frac{1}{2}$＜a＜1，
綜上$\frac{1}{2}$＜a＜1或a＞1，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查不等式恒成立問題，根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的函數(shù)值的大小關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．