Question

4．四棱錐P-ABCD的底面ABCD是直角梯形，∠DAB=∠ABC=90°，PA⊥底面ABCD，PA=AD=2，BC=AB=1，E為PD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：CE∥平面PAB；
（Ⅱ）求PA與平面ACE所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）要證CE∥平面PAB，只要證明CE平行于平面PAB內(nèi)的一條直線即可，由E為PD的中點(diǎn)，可聯(lián)想找PA的中點(diǎn)F，連結(jié)EF、BF后，證明BCEF是平行四邊形即可證得答案；
（Ⅱ）取AD的中點(diǎn)G，連接EG，則EG∥AP，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求EG與平面ACE所成的角的正弦．連接BG交AC于O，連接OE，證得平面ACE⊥平面OEG，交于直線OE，過(guò)G作GH⊥OE，交OE于H，可得∠GEH為EG與平面ACE所成的角，即∠GEO，運(yùn)用解直角三角形，即可得到所求值．

解答 解：（Ⅰ）證明：如圖，取PA的中點(diǎn)F，連結(jié)FE、FB，
則FE∥BC，且FE=$\frac{1}{2}$AD=BC，
∴BCEF是平行四邊形，
∴CE∥BF，而B(niǎo)F?平面PAB，∴CE∥平面PAB；
（Ⅱ）取AD的中點(diǎn)G，連接EG，則EG∥AP，
問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求EG與平面ACE所成的角的正弦．
連接BG交AC于O，連接OE，
由AC⊥EG，AC⊥BG，可得AC⊥平面OEG，即有：
平面ACE⊥平面OEG，交于直線OE，
過(guò)G作GH⊥OE，交OE于H，
可得∠GEH為EG與平面ACE所成的角，即∠GEO，
由EG=1，GO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，可得EO=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
可得sin∠GEO=$\frac{GO}{EO}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
則PA與平面ACE所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與平面平行的判定，考查了求線面角的方法，解答的關(guān)鍵是通過(guò)線面垂直求得線面角，屬中檔題．