Question

10．函數(shù)$sinhx=\frac{{{e^x}-{e^{-x}}}}{2}$稱為“雙曲正弦函數(shù)”，類似地，函數(shù)$coshx=\frac{{{e^x}+{e^{-x}}}}{2}$稱為“雙曲余弦函數(shù)”．
（Ⅰ）判斷雙曲正弦函數(shù)的奇偶性，并證明你的結(jié)論；
（Ⅱ）雙曲函數(shù)的恒等變形多具有與三角函數(shù)的恒等變形相似甚至相同的形式，請(qǐng)判斷下列等式恒成立的是②．（填寫序號(hào)）
①sinh²x+cosh²x=1；
②sinh2x=2sinhx•coshy；
③cosh2x=cosh²x-sinh²x．
（Ⅲ）請(qǐng)合理定義“雙曲正切函數(shù)”y=tanhx，寫出用tanhx表示tanh2x的恒等變形式，并證明之．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用奇函數(shù)的定義判斷雙曲正弦函數(shù)的奇偶性；
（Ⅱ）對(duì)選項(xiàng)分別進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)論；
（Ⅲ）（Ⅲ）y=tanhx=$\frac{sinhx}{coshx}$，e^2x=$\frac{1+tanhx}{1-tanhx}$，即可得出結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）∵sin（-hx）=$\frac{{e}^{-x}-{e}^{x}}{2}$=-sinhx，
∴雙曲正弦函數(shù)是奇函數(shù)；
（Ⅱ）①sinh²x+cosh²x=$\frac{{e}^{2x}+{e}^{-2x}-2}{4}$+$\frac{{e}^{2x}+{e}^{-2x}+2}{4}$≠1，不正確；
②sinh2x═$\frac{{e}^{2x}-{e}^{-2x}}{2}$=2sinhx•coshy，正確；
③cosh²x-sinh²x=$\frac{{e}^{2x}+{e}^{-2x}+2}{4}$-$\frac{{e}^{2x}+{e}^{-2x}-2}{4}$≠cosh2x，不正確．
（Ⅲ）y=tanhx=$\frac{sinhx}{coshx}$，∴e^2x=$\frac{1+tanhx}{1-tanhx}$
tanh2x=$\frac{sinh2x}{cosh2x}$=$\frac{{e}^{2x}-{e}^{-2x}}{{e}^{2x}+{e}^{-2x}}$=-$\frac{2tanhx}{1+tan{h}^{2}x}$．
故答案為：②．

點(diǎn)評(píng) 本題為開放題型，考查類比推理，考查分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力．