Question

13．S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，已知a_n＞0，a_n²+2a_n=4S_n+3
（I）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析 （I）通過(guò)a_n²+2a_n=4S_n+3與a_n+1²+2a_n+1=4S_n+1+3作差可知a_n+1-a_n=2，進(jìn)而可知數(shù)列{a_n}是以3為首項(xiàng)、2為公差的等差數(shù)列，計(jì)算即得結(jié)論；
（Ⅱ）通過(guò)（I）可知a_n=2n+1，裂項(xiàng)可知b_n=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+3}$），并項(xiàng)相加即得結(jié)論．

解答 解：（I）∵a_n²+2a_n=4S_n+3，
∴a_n+1²+2a_n+1=4S_n+1+3，
兩式相減得：a_n+1²-a_n²+2a_n+1-2a_n=4a_n+1，
整理得：a_n+1²-a_n²=2（a_n+1+a_n），
又∵a_n＞0，
∴a_n+1-a_n=2，
又∵a₁²+2a₁=4a₁+3，
∴a₁=3或a₁=-1（舍），
∴數(shù)列{a_n}是以3為首項(xiàng)、2為公差的等差數(shù)列，
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1；
（Ⅱ）由（I）可知a_n=2n+1，
∴b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n+1）（2n+3）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+3}$），
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為：$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+3}$）
=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{2n+3}$）
=$\frac{1}{3}$•$\frac{n}{2n+3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．