Question

3．已知函數(shù)f（x）=log_a（1-x）+log_a（x+3）（0＜a＜1）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的零點(diǎn)；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）的最小值為-4，求a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的定義域，化簡(jiǎn)方程，然后求函數(shù)f（x）的零點(diǎn)；
（Ⅱ）利用復(fù)合函數(shù)通過(guò)x的范圍，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，通過(guò)函數(shù)f（x）的最小值為-4，求a的值．

解答 解：（Ⅰ）要使函數(shù)有意義：則有$\left\{\begin{array}{l}1-x＞0\\ x+3＞0\end{array}\right.$，解之得：-3＜x＜1…（2分）
函數(shù)可化為$f（x）={log_a}（1-x）（x+3）={log_a}（-{x^2}-2x+3）$
由f（x）=0，得-x²-2x+3=1
即x²+2x-2=0，$x=-1±\sqrt{3}$∵$-1±\sqrt{3}∈（-3，1）$，∴f（x）的零點(diǎn)是$-1±\sqrt{3}$…（5分）
（Ⅱ）函數(shù)化為：$f（x）={log_a}（1-x）（x+3）={log_a}（-{x^2}-2x+3）={log_a}[{-{{（x+1）}^2}+4}]$，
∵-3＜x＜1，
∴0＜-（x+1）²+4≤4…（7分）
∵0＜a＜1，
∴${log_a}[{-{{（x+1）}^2}+4}]≥{log_a}4$
即f（x）_min=log_a4
由log_a4=-4，得a^-4=4，
∴$a={4^{-\frac{1}{4}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的最值的求法，二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．