Question

18．某地?cái)M模仿圖（1）建造一座大型體育館，其設(shè)計(jì)方案?jìng)?cè)面的外輪廓線如圖（2）所示：曲線AB是以點(diǎn)E為圓心的圓的一部分，其中E（0，t）（0＜t≤10，單位：米）；曲線BC是拋物線y=-ax²+30（a＞0）的一部分；CD⊥AD，且CD恰好等于圓E的半徑．

（1）若要求CD=20米，AD=（10$\sqrt{3}$+30）米，求t與a值；
（2）若要求體育館側(cè)面的最大寬度DF不超過(guò)45米，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出B的坐標(biāo)，可得圓的半徑為20，圓心為（0，10），可得圓的方程，進(jìn)而得到C的坐標(biāo)，代入拋物線方程，即可得到a；
（2）求得CD的長(zhǎng)，運(yùn)用拋物線方程，求出OD長(zhǎng)，由題意知FD=30-t+$\sqrt{\frac{t}{a}}$≤45對(duì)t∈（0，10]恒成立，即有$\sqrt{\frac{1}{a}}$≤$\sqrt{t}$+$\frac{15}{\sqrt{t}}$恒成立，運(yùn)用基本不等式和函數(shù)的單調(diào)性判斷右邊函數(shù)的單調(diào)性，求得最小值，再解不等式即可得到a的范圍．

解答 解：（1）由題意可得B（0，30），
CD=30-t=20，解得t=10．
此時(shí)圓E：x²+（y-10）²=400，令y=0，得AO=10$\sqrt{3}$，
所以O(shè)D=AD-AO=30，
將點(diǎn)C（30，20）代入y=-ax²+30（a＞0）中，
解得a=$\frac{1}{90}$；
（2）因?yàn)閳AE的半徑為30-t，所以CD=30-t，
在y=-ax²+30中，令y=30-t，
得OD=$\sqrt{\frac{t}{a}}$，
則由題意知FD=30-t+$\sqrt{\frac{t}{a}}$≤45對(duì)t∈（0，10]恒成立，
所以$\sqrt{\frac{1}{a}}$≤$\sqrt{t}$+$\frac{15}{\sqrt{t}}$恒成立，
當(dāng)$\sqrt{t}$=$\frac{15}{\sqrt{t}}$，即t=15∉（0，10]時(shí)，
由y=$\sqrt{t}$+$\frac{15}{\sqrt{t}}$（t∈（0，10]）遞減，可知：
當(dāng)t=10取最小值$\sqrt{10}$+$\frac{15}{\sqrt{10}}$，
故$\sqrt{\frac{1}{a}}$≤$\sqrt{10}$+$\frac{15}{\sqrt{10}}$，
解得a≥$\frac{2}{125}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的方程和拋物線方程的運(yùn)用，同時(shí)考查不等式恒成立思想，以及參數(shù)分離和基本不等式的運(yùn)用，屬于中檔題和易錯(cuò)題．