Question

3．已知極坐標系的極點在直角坐標系的原點O處，極軸與x軸的正半軸重合，已知曲線C的極坐標方程為ρ=2cosθ+2sinθ，
直線l的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=-2-t}\\{y=m+t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），曲線C上至少3個點到直線l的距離等于$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（I）將直線l的參數(shù)方程化為普通方程，將曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程；
（Ⅱ）求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）直線l消去參數(shù)t，能求出直線l的普通方程，由曲線C的極坐標方程為ρ²=2ρcosθ+2ρsinθ，能求出曲線C的直角坐標方程．
（Ⅱ）由已知得圓心C（1，1）到直線l：x+y+2-m=0的距離d≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，由此能求出實數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（I）∵直線l的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=-2-t}\\{y=m+t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
∴消去參數(shù)t，得直線l的普通方程為x+y+2-m=0，
曲線C的極坐標方程為ρ=2cosθ+2sinθ，
∴ρ²=2ρcosθ+2ρsinθ，
∴曲線C的直角坐標方程為x²+y²-2x-2y=0，
即（x-1）²+（y-1）²=2．
（Ⅱ）曲線C：（x-1）²+（y-1）²=2是以C（1，1）為圓心，以$\sqrt{2}$為半徑的圓，
∵曲線C上至少3個點到直線l的距離等于$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴圓心C（1，1）到直線l：x+y+2-m=0的距離：d=$\frac{|1+1+2-m|}{\sqrt{1+1}}$≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
解得3≤m≤5．
∴實數(shù)m的取值范圍是[3，5]．

點評 本題考查直線的參數(shù)方程化為普通方程，曲線的極坐標方程化為直角坐標方程的求法，考查實數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意極坐標、直角坐標互化公式的合理運用．