3.已知極坐標(biāo)系的極點在直角坐標(biāo)系的原點O處,極軸與x軸的正半軸重合,已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ+2sinθ,
直線l的參數(shù)方程為:$\left\{\begin{array}{l}{x=-2-t}\\{y=m+t}\end{array}\right.$(t為參數(shù)),曲線C上至少3個點到直線l的距離等于$\frac{\sqrt{2}}{2}$.
(I)將直線l的參數(shù)方程化為普通方程,將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)求m的取值范圍.

分析 (I)直線l消去參數(shù)t,能求出直線l的普通方程,由曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ,能求出曲線C的直角坐標(biāo)方程.
(Ⅱ)由已知得圓心C(1,1)到直線l:x+y+2-m=0的距離d≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$,由此能求出實數(shù)m的取值范圍.

解答 解:(I)∵直線l的參數(shù)方程為:$\left\{\begin{array}{l}{x=-2-t}\\{y=m+t}\end{array}\right.$(t為參數(shù)),
∴消去參數(shù)t,得直線l的普通方程為x+y+2-m=0,
曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ+2sinθ,
∴ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ,
∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2+y2-2x-2y=0,
即(x-1)2+(y-1)2=2.
(Ⅱ)曲線C:(x-1)2+(y-1)2=2是以C(1,1)為圓心,以$\sqrt{2}$為半徑的圓,
∵曲線C上至少3個點到直線l的距離等于$\frac{\sqrt{2}}{2}$,
∴圓心C(1,1)到直線l:x+y+2-m=0的距離:d=$\frac{|1+1+2-m|}{\sqrt{1+1}}$≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$,
解得3≤m≤5.
∴實數(shù)m的取值范圍是[3,5].

點評 本題考查直線的參數(shù)方程化為普通方程,曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程的求法,考查實數(shù)的取值范圍的求法,是中檔題,解題時要認(rèn)真審題,注意極坐標(biāo)、直角坐標(biāo)互化公式的合理運用.

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