6.已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}+cosα}\\{y=8+sinα}\end{array}\right.$(α為參數(shù));若以O(shè)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸,取相同的單位長(zhǎng)度建立極坐標(biāo)系,直線C2的極坐標(biāo)方程為ρsin(θ-$\frac{π}{3}$)=$\frac{1}{2}$.
(1)求曲線C1和C2的直角坐標(biāo)方程;
(2)在C2上是否存在點(diǎn)P,過(guò)P作C1的兩條切線,切點(diǎn)為A,B,使得△ABP為等邊三角形?若存在求出P點(diǎn)坐標(biāo),若不存在,說(shuō)明理由.

分析 (1)曲線C1的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}+cosα}\\{y=8+sinα}\end{array}\right.$(α為參數(shù));利用cos2α+sin2α=1,可得普通方程.由直線C2的極坐標(biāo)方程為ρsin(θ-$\frac{π}{3}$)=$\frac{1}{2}$,展開(kāi)可得:$\frac{1}{2}ρsinθ-\frac{\sqrt{3}}{2}ρcosθ$=$\frac{1}{2}$,利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可得出.
(2)圓心C1$(\sqrt{3},8)$到直線C2的距離d=$\frac{|\sqrt{3}×\sqrt{3}-8+1|}{\sqrt{{1}^{2}+(\sqrt{3})^{2}}}$=2,過(guò)C1$(\sqrt{3},8)$作直線C2的垂線C2P,垂足為P,則切線長(zhǎng)PA=PB=$\sqrt{pk7ytdy^{2}-{r}^{2}}$=$\sqrt{3}$,此時(shí)△PAB為等邊三角形.利用相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系可得:過(guò)C1$(\sqrt{3},8)$作直線C2的垂線C2P,聯(lián)立即可解得點(diǎn)P坐標(biāo).直線C2上除點(diǎn)P外其余點(diǎn)P使得∠APB<60°,因此不滿足題意.

解答 解:(1)曲線C1的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}+cosα}\\{y=8+sinα}\end{array}\right.$(α為參數(shù));利用cos2α+sin2α=1,可得$(x-\sqrt{3})^{2}$+(y-8)2=1.
由直線C2的極坐標(biāo)方程為ρsin(θ-$\frac{π}{3}$)=$\frac{1}{2}$,展開(kāi)可得:$\frac{1}{2}ρsinθ-\frac{\sqrt{3}}{2}ρcosθ$=$\frac{1}{2}$,可得直角坐標(biāo)方程:y-$\sqrt{3}$x=1.
(2)圓心C1$(\sqrt{3},8)$到直線C2的距離d=$\frac{|\sqrt{3}×\sqrt{3}-8+1|}{\sqrt{{1}^{2}+(\sqrt{3})^{2}}}$=2,
過(guò)C1$(\sqrt{3},8)$作直線C2的垂線C2P,垂足為P,則切線長(zhǎng)PA=PB=$\sqrt{lwvjpmp^{2}-{r}^{2}}$=$\sqrt{3}$,此時(shí)△PAB為等邊三角形.
過(guò)C1$(\sqrt{3},8)$作直線C2的垂線C2P,其方程為:y-8=-$\frac{1}{\sqrt{3}}$(x-$\sqrt{3}$),化為:$x+\sqrt{3}y$-9$\sqrt{3}$=0,聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x+\sqrt{3}y-9\sqrt{3}=0}\\{\sqrt{3}x-y+1=0}\end{array}\right.$,解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2\sqrt{3}}\\{y=7}\end{array}\right.$,
∴P$(2\sqrt{3},7)$.
直線C2上除點(diǎn)P外其余點(diǎn)P使得∠APB<60°,因此不滿足題意.
綜上可得:滿足條件的點(diǎn)P存在為:P$(2\sqrt{3},7)$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離公式、參數(shù)方程化為普通方程,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.

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