Question

10．若x≥0，y≥0，且x+2y=1，則4x+y²的最小值為$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 由實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足x≥0，y≥0且x+2y=1，我們易將y用x表示，且易給出其取值范圍，則4x+y²可表示為一個(gè)關(guān)于y的二次函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)在定區(qū)間上最值的求法，不難得到結(jié)果．

解答 解：由x≥0，y≥0，x+2y=1知0≤y≤$\frac{1}{2}$，
令Z=4x+y²=4-8y+y²=12（y-4）²-12，
由函數(shù)解析式得：y∈（-∞，4）時(shí)遞減
所以當(dāng)y=$\frac{1}{2}$時(shí)，Z=4x+y²有最小值$\frac{1}{4}$，
故答案為：$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) （1）解二次函數(shù)求最值問(wèn)題，首先采用配方法，將二次函數(shù)化為y=a（x-m）2+n的形式，得頂點(diǎn)（m，n）或?qū)ΨQ(chēng)軸方程x=m，可分成三個(gè)類(lèi)型：①頂點(diǎn)固定，區(qū)間固定；②頂點(diǎn)含參數(shù)，區(qū)間固定；③頂點(diǎn)固定，區(qū)間變動(dòng)．（2）二次函數(shù)的最值問(wèn)題能夠?qū)⒂嘘P(guān)二次函數(shù)的全部知識(shí)和性質(zhì)融合在一起，還經(jīng)常和實(shí)際問(wèn)題以及其他考點(diǎn)的知識(shí)相結(jié)合考查考生的函數(shù)思想水平和數(shù)學(xué)抽象能力，所以歷來(lái)為高考命題專(zhuān)家所青睞．解決最值問(wèn)題的關(guān)鍵是與圖象結(jié)合，就是用數(shù)形結(jié)合的方法和運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)進(jìn)行分析，然后用抽象的數(shù)學(xué)表達(dá)式反映考題的本質(zhì)．當(dāng)然這離不開(kāi)有關(guān)函數(shù)最值的基本知識(shí)，如最值公式、均值定理、配方法等．