Question

14．在△ABC中，A（2，1），B（3，2），C（-3，-1），AD為BC邊上的高，求點(diǎn)D的坐標(biāo)與|$\overrightarrow{AD}$|．

Answer 1

分析 利用向量坐標(biāo)運(yùn)算、向量共線定理、向量垂直與數(shù)量積的共線即可得出．

解答 解：設(shè)D（x，y），$\overrightarrow{AD}$=（x-2，y-1），$\overrightarrow{BC}$=（-6，-3），$\overrightarrow{BD}$=（x-3，y-2），
∵$\overrightarrow{AD}$⊥$\overrightarrow{BC}$，∴$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{BC}$=-6（x-2）-3（y-1）=0，化為2x+y-5=0．
∵B，D，C三點(diǎn)共線，
∴$\overrightarrow{BD}∥\overrightarrow{BC}$，
∴-3（x-3）+6（y-2）=0，化為x-2y+1=0．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-5=0}\\{x-2y+1=0}\end{array}\right.$，
解得x=$\frac{9}{5}$，y=$\frac{7}{5}$．
∴D$（\frac{9}{5}，\frac{7}{5}）$，$\overrightarrow{AD}$=$（-\frac{1}{5}，\frac{2}{5}）$．
∴|$\overrightarrow{AD}$|=$\sqrt{（-\frac{1}{5}）^{2}+（\frac{2}{5}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量坐標(biāo)運(yùn)算、向量共線定理、向量垂直與數(shù)量積的共線，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．