Question

11．設(shè)函數(shù)f（x）=log₂（2^x+1）+ax（a∈R）．
（1）若函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，求a的值；
（2）若a=0，試用定義法證明函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)；
（3）若不等式f（x）+f（-x）≥mt+m對(duì)任意x∈R，t∈[-2，1]恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）若函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，則f（x）=f（-x）恒成立，進(jìn)而可得a值；
（2）若a=0，f（x）=log₂（2^x+1），設(shè)x₁＜x₂，判斷f（x₁）-f（x₂）的符號(hào)，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)奇偶的定義，可得函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)；
（3）若不等式f（x）+f（-x）≥mt+m對(duì)任意x∈R，t∈[-2，1]恒成立，mt+m≤2對(duì)任意t∈[-2，1]恒成立，進(jìn)而可得實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（1）由函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，則f（x）=f（-x）恒成立，
即log₂（2^x+1）+ax=log₂（2^-x+1）-ax，所以2ax=${log}_{2}^{\frac{{2}^{-x}+1}{{2}^{x}+1}}$=${log}_{2}^{{2}^{-x}}$=-x，
所以（2a+1）x=0恒成立，則2a+1=0，故a=-$\frac{1}{2}$．（4分）
（2）證明：設(shè)x₁＜x₂，
那么f（x₁）-f（x₂）=log₄（2^x1+1）-log₂（2^x₂+1）=log₂（$\frac{{2}^{{x}_{1}}+1}{{2}^{{x}_{2}}+1}$）
因?yàn)閤₁＜x₂，
所以0＜${2}^{{x}_{1}}$＜${2}^{{x}_{2}}$，$\frac{{2}^{{x}_{1}}+1}{{2}^{{x}_{2}}+1}$∈（0，1），log2（$\frac{{2}^{{x}_{1}}+1}{{2}^{{x}_{2}}+1}$）＜0，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，
故函數(shù)f（x）在定義域R上是單調(diào)增函數(shù)．（9分）
（Ⅲ）f（x）+f（-x）=log₂（2^x+1）+ax+log₂（2^-x+1）-ax=log₂（2^x+1）（2^-x+1）=log₂（2+2^x+2^-x）
設(shè)g（r）=2+r+$\frac{1}{r}$，其中r=2^x，x∈R，r＞0，
由雙鉤函數(shù)的圖象知，r=1時(shí)，g（r）有最小值4．
∴f（x）+f（-x）≥log₂4=2
所以mt+m≤2對(duì)任意t∈[-2，1]恒成立，令h（t）=mt+m，
由 $\left\{\begin{array}{l}{h（-2）=-2m+m≤2}\\{h（1）=m+m≤2}\end{array}\right.$，解得-2≤m≤1，（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的單調(diào)性，恒成立問題，難度中檔．