Question

16．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{|x+5|-|x-1|+t}$的定義域為R．
（1）求實數(shù)t的取值范圍；
（2）若t的最小值為s，正實數(shù)a、b滿足$\frac{2}{a+2b}$+$\frac{1}{2a+b}$=s，求4a+5b的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)y=|x+5|-|x-1|的值域為[-6，6]，由恒成立可得t≥6；
（2）換元法：令a+2b=m，2a+b=n，問題轉(zhuǎn)化為正數(shù)m，n滿足$\frac{2}{m}$+$\frac{1}{n}$=6，求2m+n的最小值問題，由基本不等式可得．

解答 解：（1）研究函數(shù)y=|x+5|-|x-1|，
當(dāng)x≤-5時，y=-6，當(dāng)x≥1時，y=6，
當(dāng)-5＜x＜1時，y=2x+4∈（-6，6），
故函數(shù)y=|x+5|-|x-1|的值域為[-6，6]，
∵函數(shù)f（x）=$\sqrt{|x+5|-|x-1|+t}$的定義域為R，
∴被開方的式子恒大于等于0，故t≥6；
（2）由（1）知正實數(shù)a、b滿足$\frac{2}{a+2b}$+$\frac{1}{2a+b}$=6，
令a+2b=m，2a+b=n，則正數(shù)m，n滿足$\frac{2}{m}$+$\frac{1}{n}$=6，
則4a+5b=2m+n=$\frac{1}{6}$（2m+n）（$\frac{2}{m}$+$\frac{1}{n}$）
=$\frac{1}{6}$（5+$\frac{2n}{m}$+$\frac{2m}{n}$）≥$\frac{1}{6}$（5+2$\sqrt{\frac{2n}{m}•\frac{2m}{n}}$）=$\frac{3}{2}$
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{2n}{m}$=$\frac{2m}{n}$即m=n=$\frac{1}{2}$時取等號，此時a=b=$\frac{1}{6}$，
故4a+5b的最小值為$\frac{3}{2}$

點評 本題考查基本不等式求最值，涉及函數(shù)恒成立和換元的思想，屬中檔題．