Question

17．?dāng)?shù)列{a_n}滿足${a_{n+1}}=\frac{a_n}{a_n^2+1}$，n=1，2，3，…，{a_n}的前n項(xiàng)和記為S_n．
（Ⅰ）當(dāng)a₁=2時(shí)，a₂=$\frac{2}{5}$；
（Ⅱ）數(shù)列{a_n}是否可能為等比數(shù)列？證明你的推斷；
（Ⅲ）如果a₁≠0，證明：${S_n}=\frac{{{a_1}-{a_{n+1}}}}{{{a_1}{a_{n+1}}}}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)a₁=2時(shí)，代入計(jì)算，可得a₂；
（Ⅱ）利用反證法判斷數(shù)列{a_n}不可能為等比數(shù)列；
（Ⅲ）利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a₁=2時(shí)，${a_2}=\frac{2}{5}$；
（Ⅱ）設(shè)公比為q，則
∵${a_{n+1}}=\frac{a_n}{a_n^2+1}$，
∴${{a}_{n}}^{2}$+1=$\frac{1}{q}$，
∴q=1，此時(shí)a_n=0，矛盾
∴數(shù)列{a_n}不可能為等比數(shù)列；
（Ⅲ）n=1時(shí)，左邊=a₁，右邊=$\frac{{a}_{1}-{a}_{2}}{{a}_{1}{a}_{2}}$=$\frac{{a}_{1}-\frac{{a}_{1}}{{{a}_{1}}^{2}+1}}{{a}_{1}•\frac{{a}_{1}}{{{a}_{1}}^{2}+1}}$=a₁，成立；
假設(shè)n=k時(shí)，結(jié)論成立，則S_k=$\frac{{a}_{1}-{a}_{k+1}}{{a}_{1}{a}_{k+1}}$，
n=k+1時(shí)，左邊=S_k+a_k+1=$\frac{{a}_{1}-{a}_{k+1}}{{a}_{1}{a}_{k+1}}$+a_k+1=$\frac{{a}_{1}-{a}_{k+1}+{a}_{1}{{a}_{k+1}}^{2}}{{a}_{1}{a}_{k+1}}$
右邊=$\frac{{a}_{1}-{a}_{k+2}}{{a}_{1}{a}_{k+2}}$=$\frac{{a}_{1}-\frac{{a}_{k+1}}{{{a}_{k+1}}^{2}+1}}{{a}_{1}•\frac{{a}_{k+1}}{{{a}_{k+1}}^{2}+1}}$=$\frac{{a}_{1}-{a}_{k+1}+{a}_{1}{{a}_{k+1}}^{2}}{{a}_{1}{a}_{k+1}}$
∴左邊=右邊，
綜上，${S_n}=\frac{{{a_1}-{a_{n+1}}}}{{{a_1}{a_{n+1}}}}$．
故答案為：$\frac{2}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查數(shù)學(xué)歸納法，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．