Question

15．如圖，在三棱錐P-ABC中，點(diǎn)D為AB上一點(diǎn)，點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，PA=PB=AB，BC=$\sqrt{2}$PE，∠PED=45°，DE∥平面PBC．
（1）求證：平面PAB⊥平面ABC；
（2）若∠ABC=90°，AB=2，求點(diǎn)D到平面PBE的距離．

Answer 1

分析 （1）證明AB⊥DP，DE⊥PD，利用面面垂直的判定證明平面PAB垂直平面ABC；
（2）利用等體積，求點(diǎn)D到平面PBE的距離．

解答 （1）證明：∵PA=PB，∴AB⊥DP，
∵點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，DE∥平面PBC，BC=$\sqrt{2}$PE，
∴DE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$PE，
∵∠PED=45°，
∴PD=$\sqrt{P{E}^{2}+\frac{1}{2}P{E}^{2}-2•PE•\frac{\sqrt{2}}{2}PE•\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$PE，
∴DE⊥PD，
∵AB∩DE=D，
∴PD⊥平面ABC
又PD?平面PAB，∴平面PAB⊥平面ABC．
（2）解：設(shè)AB=2a，則PD=$\sqrt{3}$a，PE=$\sqrt{6}$a，BC=2$\sqrt{3}$a，AC=4a
∴BE=2a，∴S_△PBE=$\frac{1}{2}×\sqrt{6}a×\sqrt{4{a}^{2}-\frac{3}{2}{a}^{2}}$=$\frac{\sqrt{15}}{2}$a，
設(shè)點(diǎn)D到平面PBE的距離為h．則$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{15}}{2}ah$=$\frac{1}{3}×a×\sqrt{3}a×\sqrt{3}a$，
∴h=$\frac{\sqrt{15}}{6}$a=$\frac{\sqrt{15}}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題以三棱錐為背景考查考查線面垂直、面面垂直的判定以及點(diǎn)D到平面PBE的距離，考查空間想象能力和計(jì)算能力．