Question

12．已知圓心為C的圓，滿足下列條件：圓心C位于x軸正半軸上，與直線3x-4y+7=0相切，且被y軸截得的弦長(zhǎng)為2$\sqrt{3}$，圓C的面積小于13．
（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）一條光線從點(diǎn)A（4，1）出發(fā)，經(jīng)直線y=x-5反射后與圓C相切，求入射光線所在直線的斜率．

Answer 1

分析 （1）利用點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合勾股定理，建立方程，根據(jù)圓C的面積小于13，即可求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求出圓C關(guān)于直線y=x-5的對(duì)稱點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用圓心到直線的距離d=r，即可求入射光線所在直線的斜率．

解答 解：（I）設(shè)圓C：（x-a）²+y²=R²（a＞0），
由題意知R=$\frac{|3a+7|}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}$=$\sqrt{{a}^{2}+3}$，解得a=1或a=$\frac{13}{8}$，
又∵S=πR²＜13，
∴a=1，
∴圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（x-1）²+y²=4．    
（2）圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（x-1）²+y²=4，圓心坐標(biāo)為C（1，0），半徑為2．
設(shè)C關(guān)于直線y=x-5的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，b），則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a-1}•1=-1}\\{\frac{2}=\frac{1+a}{2}-5}\end{array}\right.$，
∴a=5，b=-4，
∴圓C關(guān)于直線y=x-5的對(duì)稱點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（x-5）²+（y+4）²=4，
設(shè)入射光線所在直線的斜率為k，方程為y-1=k（x-4），即kx-y-4k+1=0，
圓心到直線的距離d=$\frac{|5k+4-4k+1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，∴k=$\frac{5±2\sqrt{22}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，綜合性強(qiáng)．