Question

10．如圖所示，一個(gè)直徑AB=2的半圓，過點(diǎn)A作這個(gè)圓所在平面的垂線，在垂線上取一點(diǎn)S，使AS=AB，C為半圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，M、N分別在SB、SC上，且AN⊥SC，AM⊥SB．
（1）證明：AN⊥BC；
（2）證明：SB⊥面ANM；
（3）求三棱錐S-AMN體積的最大值．

Answer 1

分析 （1）通過證明SA⊥BC，BC⊥AC，利用直線與平面垂直的判定定理證明BC⊥平面SAC，然后證明AN⊥BC．（2）通過證明AN⊥SB，利用直線與平面垂直的判定定理證明SB⊥面ANM．
（3）利用${V_{S-AMN}}=\frac{1}{3}•{S_{△ANM}}•SM$，判斷面積最大在AN=MN=1時(shí)取得，然后求解體積．

解答 （1）證明：由題意可知：SA⊥平面ABC，BC?平面BAC，∴SA⊥BC，…..（1分）
∵C為半圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∴BC⊥AC，…..（2分）
∵SA⊥BC，BC⊥AC，AC∩SA=A，AC、SA?平面SAC，
∴BC⊥平面SAC，又AN?平面SAC，∴AN⊥BC．…..（6分）
（2）證明：∵AN⊥BC，AN⊥SC，BC∩SC=C，BC、SC?面SCB，可得AN⊥面SCB，
又SB?平面SCB，∴AN⊥SB，
$\left.\begin{array}{l}AN⊥SB\\ SB⊥AM\\ AN∩AM=A\\ AN、AM?面AMN\end{array}\right\}⇒SB⊥面AMN$…..（9分）（該步驟方法雷同）
（3）解：${V_{S-AMN}}=\frac{1}{3}•{S_{△ANM}}•SM$．由SA=AB=2，
得到$AM=SM=\sqrt{2}$，而AN⊥NM，
∴△AMN為斜邊長為$\sqrt{2}$的直角三角形，…（10分）
面積最大在AN=MN=1時(shí)取得…（11分）
所以，${V_{S-AMN}}=\frac{1}{3}•{S_{△AMN}}•{h_{SB}}=\frac{1}{3}×（{\frac{1}{2}×1×1}）×\sqrt{2}=\frac{{\sqrt{2}}}{6}$…..（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面垂直的判定定理，三棱錐的體積的求法，考查計(jì)算能力以及邏輯推理能力．