Question

5．若f（x）=2cos²x-1-2a-2acosx的最小值為-$\frac{1}{2}$，則實(shí)數(shù)a=$\frac{3}{8}$或$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由三角函數(shù)公式化簡可得f（x）=2（cosx-a）²-2a²-2a-1，由二次函數(shù)區(qū)間的最值分類討論可得．

解答 解：f（x）=2cos²x-1-2a-2acosx
=2（cosx-a）²-2a²-2a-1，
當(dāng)a≤-1時，由二次函數(shù)可知當(dāng)cosx=-1時，
函數(shù)取最小值1，不等于-$\frac{1}{2}$，不合題意；
當(dāng)a≥1時，由二次函數(shù)可知當(dāng)cosx=1時，
函數(shù)取最小值1-4a=-$\frac{1}{2}$，解得a=$\frac{3}{8}$；
當(dāng)-1＜a＜1時，由二次函數(shù)可知當(dāng)cosx=a時，
函數(shù)取最小值-2a²-2a-1=-$\frac{1}{2}$，解得a=-$\frac{1}{2}$；
綜上可得實(shí)數(shù)a=$\frac{3}{8}$或a=-$\frac{1}{2}$，
故答案為：$\frac{3}{8}$或$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查三角函數(shù)的最值，涉及換元法和二次函數(shù)區(qū)間的最值以及分類討論的思想，屬中檔題．