Question

6．已知函數(shù)f（x）=2-2cos²（$\frac{π}{4}$+x）-$\sqrt{3}$cos2x
（1）求函數(shù)f（x）在x∈[0，π]時的增區(qū)間；
（2）求函數(shù)f（x）的對稱軸；
（3）若方程f（x）-k=0在x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]上有解，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由條件化簡得到f（x）=1+2sin（2x-$\frac{π}{3}$），求出f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間，得出結(jié)論．
（2）根據(jù)對稱軸的定義即可求出．
（3）由題意可得函數(shù)f（x）的圖象和直線y=k在x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]上有交點(diǎn)，根據(jù)正弦函數(shù)的定義域和值域求出f（x）的值域，可得k的范圍．

解答 解：（1）f（x）=2-2cos²（$\frac{π}{4}$+x）-$\sqrt{3}$cos2x=1+2sin（2x-$\frac{π}{3}$），
由2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{2}$+2kπ，$\frac{π}{2}$+2kπ]，k∈Z，
得x∈[-$\frac{π}{12}$+kπ，$\frac{5π}{12}$+2kπ]，k∈Z，
可得函數(shù)f（x）在x∈[0，π]時的增區(qū)間為[0，$\frac{5π}{12}$]，[$\frac{11π}{12}$，π]，
（2）由2x-$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
∴得函數(shù)f（x）的對稱軸為x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{5π}{12}$，k∈Z，
（3）∵x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，
∴$\frac{π}{6}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{2π}{3}$，
即2≤1+2sin（2x-$\frac{π}{3}$）≤3，
要使方程f（x）-k=0在x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]上有解，只有k∈[2，3]．

點(diǎn)評 本題主要考查三角函數(shù)的化簡，正弦函數(shù)的圖象的對稱性、單調(diào)性，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．