Question

6．在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}+cosθ}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}+sinθ}\end{array}\right.$（θ是參數(shù)），直線l的極坐標(biāo)方程為$θ=\frac{π}{12}$（ρ∈R）
（Ⅰ）求C的普通方程與極坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，求|AB|的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由sin²θ+cos²θ=1，可得圓C的普通方程，再由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x²+y²=ρ²，即可得到圓的極坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）由于圓經(jīng)過原點(diǎn)，由圓的極坐標(biāo)方程，代入$θ=\frac{π}{12}$，計(jì)算即可得到弦長．

解答 解：（Ⅰ）由sin²θ+cos²θ=1，可得
圓C的普通方程是（x-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²+（y-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²=1，
由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x²+y²=ρ²，
又x²+y²-$\sqrt{2}$x$-\sqrt{2}y$=0，即有ρ²=$\sqrt{2}$ρ（cosθ+sinθ），
即有圓的極坐標(biāo)方程是ρ=2cos（θ-$\frac{π}{4}$）；          
（Ⅱ）由圓的極坐標(biāo)方程可得，
當(dāng)$θ=\frac{π}{12}$時(shí)，
ρ=2cos（$\frac{π}{12}$-$\frac{π}{4}$）=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
故|AB|=$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查參數(shù)方程和普通方程及極坐標(biāo)方程的互化，同時(shí)考查極坐標(biāo)方程的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題．