Question

4．在直角坐標(biāo)系xoy中，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（2，1），且傾斜角為45°，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程是ρsin²θ-2cosθ=0，直線l與曲線C在第一、四象限分別交于A、B兩點(diǎn)．
（1）寫(xiě)出直線l的參數(shù)方程，曲線C的普通方程；
（2）求|AP|：|BP|的值．

Answer 1

分析 （1）直接利用直線的傾斜角，以及經(jīng)過(guò)的點(diǎn)求出直線的參數(shù)方程，轉(zhuǎn)化極坐標(biāo)方程為普通方程即可．
（2）直線的參數(shù)方程代入拋物線方程，求出參數(shù)的值，利用此時(shí)的幾何意義求解即可．

解答 解：（1）在直角坐標(biāo)系xoy中，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（2，1），且傾斜角為45°，它的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}x=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t\\ y=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t\end{array}\right.$，t為參數(shù)，…（2分）
以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程是ρsin²θ-2cosθ=0，直角坐標(biāo)方程為：y²=2x．…（4分）
（2）由（1）$\left\{\begin{array}{l}x=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t\\ y=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t\end{array}\right.$和y²=2x可知：${（1+\frac{\sqrt{2}}{2}t）}^{2}=2（2+\frac{\sqrt{2}}{2}t）$，…（5分）
得t²=6∴$t=±\sqrt{6}$，…（7分）
由參數(shù)的意義知|AP|=$\sqrt{6}$，|BP|=$\sqrt{6}$，…（9分）
∴|AP|：|BP|=1．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線的參數(shù)方程與拋物線的極坐標(biāo)方程與普通方程的互化，參數(shù)的幾何意義，考查計(jì)算能力．