Question

6．如圖，動(dòng)點(diǎn)M與兩定點(diǎn)A（-1，0），B（2，0）構(gòu)成△MAB，且∠MBA=2∠MAB，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程．

Answer 1

分析 設(shè)出點(diǎn)M（x，y），分類(lèi)討論，根據(jù)∠MBA=2∠MAB，利用正切函數(shù)公式，建立方程化簡(jiǎn)即可得到點(diǎn)M的軌跡方程．

解答 解：設(shè)M的坐標(biāo)為（x，y），顯然有x＞0，且y≠0
當(dāng)∠MBA=90°時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，±3）
當(dāng)∠MBA≠90°時(shí)，x≠2，由∠MBA=2∠MAB有tan∠MBA=$\frac{2tan∠MAB}{1-ta{n}^{2}∠MAB}$，
化簡(jiǎn)可得3x²-y²-3=0
而點(diǎn)（2，±3）在曲線(xiàn)3x²-y²-3=0上
綜上可知，軌跡C的方程為3x²-y²-3=0（x＞1）．

點(diǎn)評(píng) 本題以角的關(guān)系為載體，考查軌跡方程的求解，考查思維能力，運(yùn)算能力，考查思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，屬于中檔題．