Question

13．已知圓C：x²+y²+2x-4y+3=0．
（1）直線l過點（-2，0）且被圓C截得的弦長為2，求直線l的方程；
（2）從圓C外一點P向圓引一條切線，切點為M，O為坐標原點，且有|PM|=|PO|，求|PM|的最小值．

Answer 1

分析 （1）⊙C：x²+y²+2x-4y+3=0，化為標準方程，求出圓心C，半徑r．分類討論，利用C到l的距離為1，即可求直線l的方程；
（2）設P（x，y）．由切線的性質可得：CM⊥PM，利用|PM|=|PO|，可得3x+4y-12=0，求|PM|的最小值，即求|PO|的最小值，即求原點O到直線2x-4y+3=0的距離

解答 解：（1）x²+y²+2x-4y+3=0可化為（x+1）²+（y-2）²=2
當l的斜率不存在時，其方程為x=-2，與圓C的交點為A（-2，1），B（-2，3）
|AB|=2，符合題意   …（2分）
當l的斜率存在時，設其方程為y=k（x+2）即kx-y+2k=0
則C到l的距離$d=\frac{{|{-k-2+2k}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=1$
解得$k=\frac{3}{4}$，∴l(xiāng)的方程為3x-4y+6=0
綜上，直線l的方程為x=-2或3x-4y+6=0…（6分）
（2）如圖：PM為圓C的切線，則CM⊥PM，∴△PMC為直角三角形，∴|PM|²=|PC|²-|MC|²．
設P（x，y），C（-1，2），|MC|=$\sqrt{2}$

∵|PM|=|PO|，
∴x²+y²=（x+1）²+（y-2）²-2．
化簡得點P的軌跡方程為2x-4y+3=0．
求|PM|的最小值，即求|PO|的最小值，即求原點O到直線2x-4y+3=0的距離，代入點到直線的距離公式可求得|PM|最小值為$\frac{{3\sqrt{5}}}{10}$…（12分）

點評 本題考查直線方程，考查直線與圓的位置關系，考查了圓的切線的性質、勾股定理、兩點之間的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．