Question

3．已知橢圓M：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{1}{2}$，一個焦點(diǎn)到相應(yīng)的準(zhǔn)線的距離為3，圓N的方程為（x-c）²+y²=a²+c²（c為半焦距），直線l：y=kx+m（k＞0）與橢圓M和圓N均只有一個公共點(diǎn)，分別為A，B．
（1）求橢圓方程和直線方程；
（2）試在圓N上求一點(diǎn)P，使$\frac{PB}{PA}$=2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)題意通過離心率和焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離聯(lián)立方程求得a和c，則b可得，進(jìn)而求得橢圓的方程．利用直線l：y=kx+m（k＞0）與橢圓M和圓N均只有一個公共點(diǎn)，可得直線方程；
（2）由（1），可得A（-1，1.5），B（0，2），利用$\frac{PB}{PA}$=2$\sqrt{2}$，求出P的軌跡方程，與圓N聯(lián)立，可得P的坐標(biāo)．

解答 解：（1）由題意有$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{\frac{{a}^{2}}{c}-c=3}\end{array}\right.$，解得a=2，c=1，
從而b=$\sqrt{3}$，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
圓N的方程為（x-1）²+y²=5，圓心到直線的距離d=$\frac{|k+m|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{5}$①
直線l：y=kx+m代入$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，整理可得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
∴△=0，可得m²=3+4k²，②
由①②，k＞0，可得m=2，k=$\frac{1}{2}$，
∴直線方程為y=$\frac{1}{2}x+2$；
（2）由（1），可得A（-1，1.5），B（0，2），
設(shè)P（x，y），則x²+（y-2）²=8（x+1）²+8（y-1.5）²，∴7x²+7y²+16x-20y+22=0
與（x-1）²+y²=5聯(lián)立，可得x=-1，y=1或x=-$\frac{9}{13}$，y=$\frac{19}{13}$，
∴P（-1，1）或（-$\frac{9}{13}$，y=$\frac{19}{13}$）．

點(diǎn)評 本題主要考查了直線與橢圓方程．考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．