Question

18．如圖，點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左、右焦點(diǎn)．點(diǎn)A是橢圓C上一點(diǎn)，點(diǎn)B是直線AF₂與橢圓C的另一交點(diǎn)，且滿足AF₁⊥x軸，∠AF₂F₁=30°．
（1）求橢圓C的離心率e；
（2）若△ABF₁的周長(zhǎng)為$4\sqrt{3}$，求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（3）若△ABF₁的面積為$8\sqrt{3}$，求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

分析 （1）通過求解直角三角形得到A的坐標(biāo)，代入橢圓方程整理，結(jié)合隱含條件求得橢圓C的離心率e；
（2）通過橢圓定義結(jié)合三角形的周長(zhǎng)及隱含條件求得答案；
（3）由（1）得到a與c，b與c的關(guān)系，設(shè)直線AF₂的方程為$y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}（x-c）$，代入2x²+3y²=6c²化簡(jiǎn)整理，求得B的坐標(biāo)，再由點(diǎn)到直線的距離公式結(jié)合三角形面積求得答案．

解答 解：（1）Rt△AF₁F₂中，∵∠AF₂F₁=30°，
∴$A{F_1}={F_1}{F_2}tan{30°}=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}c$，
則$A（-c，\frac{{2\sqrt{3}}}{3}c）$，代入$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$并利用b²=a²-c²化簡(jiǎn)整理，
得3a⁴-2a²c²-3c⁴=0，即（a²-3c²）（3a²-c²）=0，
∵a＞c，
∴$a=\sqrt{3}c$，
∴$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．
（2）由橢圓定義知AF₁+AF₂=BF₁+BF₂=2a，
∴△ABF₁的周長(zhǎng)為4a，
∴$4a=4\sqrt{3}$，則$a=\sqrt{3}$，$b=\sqrt{2}$，
故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1$；
（3）由（1）知$a=\sqrt{3}c$，則$b=\sqrt{2}c$，
于是橢圓方程可化為$\frac{x^2}{{3{c^2}}}+\frac{y^2}{{2{c^2}}}=1$，即2x²+3y²=6c²，
設(shè)直線AF₂的方程為$y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}（x-c）$，代入2x²+3y²=6c²化簡(jiǎn)整理得3x²-2cx-5c²=0，
∴x=-c或$x=\frac{5}{3}c$，
則點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為$\frac{5}{3}c$，
∴點(diǎn)B到直線AF₁的距離為$\frac{5}{3}c-（-c）=\frac{8}{3}c$，
∴△ABF₁的面積為$\frac{1}{2}•\frac{2\sqrt{3}}{3}c•\frac{8}{3}c=8\sqrt{3}$，
解得c=3，
∴$a=3\sqrt{3}，b=3\sqrt{2}$，
故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{x^2}{27}+\frac{y^2}{18}=1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查橢圓方程的求法，訓(xùn)練了利用定義法求橢圓方程，是中檔題．