Question

1．已知函數(shù)$f（x）=lg\frac{x+1}{x-1}$．
（1）求該函數(shù)的定義域；
（2）判斷該函數(shù)的奇偶性并證明．

Answer 1

分析 （1）依題意，由對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于0，即$\frac{x+1}{x-1}$＞0，即可求得該函數(shù)的定義域；
（2）利用奇偶函數(shù)的定義：f（-x）=f（x）還是f（-x）=-f（x）即可判斷該函數(shù)的奇偶性．

解答 解：（1）∵$f（x）=lg\frac{x+1}{x-1}$，
∴$\frac{x+1}{x-1}$＞0，
解得：x＜-1或x＞1，
∴該函數(shù)的定義域為（-∞，-1）∪（1，+∞）；
（2）∵函數(shù)$f（x）=lg\frac{x+1}{x-1}$的定義域關(guān)于原點對稱，且$f（-x）=lg\frac{-x+1}{-x-1}=lg\frac{x-1}{x+1}=-f（x）$，
∴該函數(shù)為奇函數(shù)．

點評 本題考查對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，著重考查函數(shù)的定義域與函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．