Question

12．（1）已知$\frac{2}{x}+\frac{3}{y}=2（{x＞0\;，\;\;y＞0}）$，求xy的最小值
（2）已知x、y∈R⁺，且2x+5y=20，求xy的最大值．

Answer 1

分析 （1）由于x＞0，y＞0，則2=$\frac{2}{x}$+$\frac{3}{y}$≥2$\sqrt{\frac{6}{xy}}$，變形即可得出．
（2）由題意和基本不等式可得xy=$\frac{1}{10}$•2x•5y≤$\frac{1}{10}$•（$\frac{2x+5y}{2}$）²=10，驗(yàn)證等號(hào)成立即可．

解答 解：（1）∵x＞0，y＞0，
∴2=$\frac{2}{x}$+$\frac{3}{y}$≥2$\sqrt{\frac{6}{xy}}$，當(dāng)且僅當(dāng)x=2，y=3時(shí)取等號(hào)，
∴xy≥6，
∴xy的最小值為6，
（2）∵x＞0，y＞0，且2x+5y=20，
∴xy=$\frac{1}{10}$•2x•5y≤$\frac{1}{10}$•（$\frac{2x+5y}{2}$）²=10，當(dāng)且僅當(dāng)2x=5y即x=5且y=2時(shí)取等號(hào)，
∴xy的最大值為10．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了基本不等式的性質(zhì)，考查了變形能力、推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．