Question

5．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足：|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{2}$，|$\overrightarrow$|=4，$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow$-$\overrightarrow{a}$）=2．
（1）求向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角；
（2）若|t$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=2$\sqrt{2}$，求實數(shù)t的值．

Answer 1

分析 （1）向量的數(shù)量積的定義，即可求出
（2）根據(jù)向量的數(shù)量積以及向量模即可求出．

解答 解：（1）設(shè)向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為θ，
∵|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{2}$，|$\overrightarrow$|=4，
∴$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow$-$\overrightarrow{a}$）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-$\overrightarrow{a}$²=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow$|cosθ-$\overrightarrow{a}$²=4$\sqrt{2}$cosθ-2=2，
∴cosθ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵0≤θ≤π，
∴θ=$\frac{π}{4}$，
（2）∵|t$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=2$\sqrt{2}$，
∴t²$\overrightarrow{a}$²-2t$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+$\overrightarrow$²=2t²-8t+16=8，
即t²-4t+4=0，
解得t=2．

點評 本題考查了向量的數(shù)量積的定義以及向量模的運用求向量的夾角，屬于基礎(chǔ)題．