17.設(shè){an}是公比大于1的等比數(shù)列,Sn為數(shù)列{an}的前n項和,已知S3=7,且a1+3,3a2,a3+4構(gòu)成等差數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)令bn=${a}_{n}^{2}$+lna3n+1,n∈N*,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn

分析 (1)設(shè){an}是公比q大于1的等比數(shù)列,運用等比數(shù)列的求和公式和通項公式,以及等差數(shù)列的中項的性質(zhì),解方程即可得到所求數(shù)列的通項公式;
(2)求得bn=4n-1+ln23n=4n-1+3nln2,運用數(shù)列的求和方法:分組求和,結(jié)合等比數(shù)列和等差數(shù)列的求和公式,計算即可得到所求和.

解答 解:(1)設(shè){an}是公比q大于1的等比數(shù)列,
由S3=7,且a1+3,3a2,a3+4構(gòu)成等差數(shù)列,
可得$\frac{{a}_{1}(1-{q}^{3})}{1-q}$=7,6a2=a1+a3+7,即6a1q=a1+a1q2+7,
解方程可得a1=1,q=2($\frac{1}{2}$舍去),
則an=a1qn-1=2n-1
(2)bn=${a}_{n}^{2}$+lna3n+1=4n-1+ln23n
=4n-1+3nln2,
{bn}的前n項和Tn為b1+b2+b3+…+bn
=(1+4+16+…+4n-1)+3ln2(1+2+3+…+n)
=$\frac{1-{4}^{n}}{1-4}$+3ln2•$\frac{n(n+1)}{2}$
=$\frac{{4}^{n}-1}{3}$+3ln2•$\frac{n(n+1)}{2}$.

點評 本題考查數(shù)列的通項公式的求法,注意運用等比數(shù)列的通項公式和求和公式,考查等差數(shù)列的中項的性質(zhì)和數(shù)列的求和方法:分組求和,屬于中檔題.

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